Phương pháp nhiễu xạ tia X cho biết ở pha rắn, vàng (Au, gold) có cấu trúc mạng lưới tinh thể lập phương tâm diện, mỗi nguyên tử Au có dạng hình cầu bán kính r. Một ô cơ sở của mạng tinh thể Au là một hình lập phương có độ dài cạnh a = 4,077×10–10 m, mỗi mặt của hình lập phương chứa 1/2 nguyên tử Au và mỗi góc chứa 1/8 nguyên tử Au khác (hình bên). Khối lượng mol nguyên tử và khối lượng riêng của vàng lần lượt là 196,97 g/mol và 19,30 g/cm³. Biết thể tích của hình cầu V = 4πr³/3 và thể tích hình lập phương V’ = a³.
a) Tính phần trăm thể tích không gian trống trong ô cơ sở của mạng tinh thể vàng.
b) Hợp kim electrum còn gọi là vàng xanh (green gold) được hình thành khi thay thế một phần các nguyên tử vàng trong ô mạng tinh thể bằng các nguyên tử bạc (Ag, silver) và cứ một nguyên tử Au được thay thế bằng một nguyên tử Ag. Cấu trúc và kích thước mạng tinh thể không thay đổi sau khi thay thể các nguyên tử, nên làm giảm khối lượng riêng từ 19,30 g/cm³ (vàng nguyên chất) xuống còn 15,96 g/cm³ (hợp kim vàng xanh). Tính phần trăm số nguyên tử Ag và phần trăm khối lượng của Ag có trong hợp kim vàng xanh.
(a) Mỗi ô mạng lập phương tâm diện có 6 mặt và 8 đỉnh:
+ Mỗi mặt nửa nguyên tử ⇔ Có 3 nguyên tử ở mặt.
+ Mỗi đỉnh có 1/8 nguyên tử ⇔ Có 1 nguyên tử ở đỉnh.
Vậy mỗi ô mạng cơ sở tương đương 4 nguyên tử.
Cạnh ô mạng là a, bán kính nguyên tử là r —> Đường chéo mỗi mặt là 4r.
Theo định lý Pytago: a² + a² = (4r)² —> a = 2√2r
Độ đặc khít = V 4 nguyên tử / V ô mạng = (4.4πr³/3) / a³
Thay a = 2√2r và triệt tiêu r tính được độ đặc khít = 74,05%
—> Không gian trống chiếm 100% – 74,05% = 25,95%
(b) 1 cm³ vàng nguyên chất (19,30 gam) có cùng số nguyên tử (cùng số mol) với 1 cm³ vàng xanh (15,96 gam, gồm x gam Au và y gam Ag)
—> x + y = 15,96 và x/197 + y/108 = 19,30/197
—> x = 11,90697; y = 4,05303
% khối lượng Ag = y/15,96 = 25,39%
% số nguyên tử Ag = (y/108) / (19,30/197) = 38,31%